Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de Moivre. Vejamos como se procede a radiciação desses números:

Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:

As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i.

Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:

Sabemos também que:

Com os valores de seno e cosseno podemos concluir que:

Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é:

Agora, vamos calcular as raízes quadradas de z utilizando a fórmula de Moivre.

Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z₀ e z₁.

Para k = 0, teremos

Para k = 1, teremos:

Exemplo 2. Obtenha as raízes cúbicas de z = 1∙(cosπ + i∙senπ)

Solução: Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,