Conjunto dos números complexos

Os números naturais surgiram da necessidade do homem de relacionar objetos a quantidades, os elementos que pertencem a esse conjunto são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, o zero surgiu posteriormente, com a finalidade de expressar algo nulo no preenchimento posicional.

O conjunto dos números naturais surgiu simplesmente com o propósito da contagem, no comércio sua utilização esbarrava nas situações em que era preciso expressar prejuízos. Os matemáticos da época, no intuito de resolver tal situação, criaram o conjunto dos números inteiros, simbolizado pela letra Z.
Z = {... , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
Operações comerciais representando lucros ou prejuízos podiam ser calculadas, por exemplo:
20 – 25 = – 5 (prejuízo)
–10 + 30 = 20 (lucro)
–100 + 70 = – 30 (prejuízo)

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Forma algébrica

Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária.

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Operações com números complexos

A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.

A origem de i ao quadrado igual a -1

No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1.

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

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Potências de i :

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² . i = -i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i
i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1
i⁷ = i⁶ . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i .

Plano de Argand-Gauss

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:

Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

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Forma Trigonométrica de um Número Complexo

Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0).
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe:

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ
senӨ = b/p → b = p*senӨ

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Fórmulas de Moivre

Consideremos o número complexo não nulo z = p*(cosӨ + i*senӨ) e o número n Є N, dessa forma escrevemos:

zⁿ = z*z*z*...*z ou zⁿ = p*p*p*...*p *(cosӨ + i*senӨ)* (cosӨ + i*senӨ).... (cosӨ + i*senӨ), daí, zⁿ = pⁿ*[cos(Ө+Ө+Ө+...+Ө) + i*sen(Ө+Ө+Ө+...+Ө)], onde concluímos que:

zⁿ = pⁿ *[cos(nӨ) + i*sen(nӨ)]

Essa expressão é um recurso muito importante nas situações envolvendo a expressão (a + bi)n, caso não existisse, deveríamos usar o binômio de Newton, o que acarretaria em cálculos trabalhosos.

Obs.: para calcularmos a potência de um número complexo utilizando a 1º fórmula de Moivre, devemos escrever o complexo na sua forma trigonométrica.

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2ª Lei de Moivre

Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de Moivre. Vejamos como se procede a radiciação desses números:

Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:

As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i.

Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.
Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:

Sabemos também que:

Com os valores de seno e cosseno podemos concluir que:

Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é:

Agora, vamos calcular as raízes quadradas de z utilizando a fórmula de Moivre.

Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas z₀ e z₁.

Para k = 0, teremos

Para k = 1, teremos:

Exemplo 2. Obtenha as raízes cúbicas de z = 1∙(cosπ + i∙senπ)

Solução: Como o número complexo já está na forma trigonométrica, basta utilizar a fórmula de Moivre. Pelo enunciado temos que ø = π e |z| = 1. Assim,